Question

18．設(shè)$\overrightarrow{OA}$=（1，1），$\overrightarrow{OB}$=（3，0），$\overrightarrow{OC}$=（3，5）其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$；
（2）求三角形ABC的面積；
（3）對(duì)于向量$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），定義一種運(yùn)算：將x₁y₁-x₂y₂的絕對(duì)值記為f（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$），試計(jì)算f（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）的值．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0即可；
（2）求出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的模，即三角形的兩個(gè)直角邊，代入面積公式計(jì)算；
（3）依據(jù)新定義計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$=（1，1），$\overrightarrow{OB}$=（3，0），$\overrightarrow{OC}$=（3，5），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=（2，-1），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（2，4）．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2×2-1×4=0，∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$．
（2）$\overrightarrow{|AB|}$=$\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{|AC|}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=5．
（3）f（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$）=|2×2-（-1）×4|=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，模長(zhǎng)計(jì)算及新定義運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．