Question

16．在△ABC中，已知AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，cosB=$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （I）∵cosB=$\frac{1}{3}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．利用正弦定理可得$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}$，可得$sinC=\frac{AB•sinB}{AC}$．
（II）可得sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，利用$S=\frac{1}{2}AB•ACsinA$=$\frac{8\sqrt{5}+4\sqrt{2}}{9}$即可得出．

解答 解：（I）∵cosB=$\frac{1}{3}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}$，AC=2$\sqrt{2}$，AB=2，
∴$sinC=\frac{AB•sinB}{AC}$=$\frac{2}{3}$．
（II）∵$sinC=\frac{2}{3}$，cosB=$\frac{1}{3}$，（∵AC＞AB，∴$cosC=\frac{\sqrt{5}}{3}）$．
sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{2\sqrt{10}}{9}+\frac{2}{9}$
∴$S=\frac{1}{2}AB•ACsinA$=$\frac{8\sqrt{5}+4\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題考查了正弦定理、同角三角函數基本關系式、兩角和差的正弦公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．