Question

5．在2014年教師節(jié)來臨之際，某學校計劃為教師頒發(fā)一定的獎勵，該學校計劃采用說課評價與講課評價相結合的方式來決定教師獲得獎勵的等級．已知說課評價和講課評價的成績都分為1分，2分，3分，4分，5分，共5個等級．所有教師說課評價與講課評價成績的頻率分布情況如圖所示（參加評價的每個教師兩種評價都參加了），其中講課評價成績?yōu)?分的有12人．

（1）求該學校參加評價活動的教師總人數；
（2）若在說課評價為2分的教師中，講課評價也為2分的有4人，其余講課評價均為3分．若從說課評價為2分的教師中選取2人進行座談，求這2人說課評價與講課評價總分的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求得講課評價中成績?yōu)?分的概率，再結合講課評價成績?yōu)?分的有12人求得該學校參加評價活動的教師總數；
（2）結合頻率分布直方圖求出說課評價為2分的教師的頻率，進一步求得說課評價為2分的教師數，得到16人中總分為4分的有4人，總分為5分的有12人，則從這16人中任選2人，得分總和X可求，再利用古典概型概率計算公式求得概率，列出頻率分布表，代入期望公式求期望．

解答 解：（1）講課評價中成績?yōu)?分的概率為1-0.025-0.150-0.375-0.375=0.075，
故該學校參加評價活動的教師總數為$\frac{12}{0.075}=160$；
（2）由條件可知，說課評價為2分的教師的頻率為1-0.200-0.375-0.250-0.075=0.1，
故說課評價為2分的教師數為160×0.1=16人．
由條件可知，這16人中總分為4分的有4人，總分為5分的有12人．
設從這16人中任選2人，得分總和為X，則X的可能值為8分，9分，10分．
則$P（X=8）=\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{2}}=\frac{1}{20}，P（X=9）$=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{16}^{2}}=\frac{2}{5}$，$P（X=10）=\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{2}}=\frac{11}{20}$．
則X的分布列為：

X	8	9	10
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{11}{20}$

數學期望E（X）=$8×\frac{1}{20}+9×\frac{2}{5}+10×\frac{11}{20}=\frac{19}{2}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖，考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查了古典概型概率公式的應用，是中檔題．