Question

6．已知$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=1（m＞0，n＞0），當mn取最小值時，雙曲線$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{mn}$=1的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 運用基本不等式可得mn≥8，當且僅當n=2m=4，mn取得最小值8．求出雙曲線方程的a，b，c，由離心率公式計算即可得到．

解答 解：由m＞0，n＞0，$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=1得：1=$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$≥2$\sqrt{\frac{2}{mn}}$，
可得mn≥8，
當且僅當n=2m=4，mn取得最小值8．
即有雙曲線$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{mn}$=1為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，
即有a=2，b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$．
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查雙曲線的離心率的求法，同時考查基本不等式的運用，屬于中檔題和易錯題．