Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)乘積是T_n，若S_n+T_n=1，若數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)a${\;}_{{n}_{0}}$最接近$\frac{1}{2015}$，則n₀=44．

Answer 1

分析 通過前幾項(xiàng)的值猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，從而a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n（n+1）}$，計(jì)算即可．

解答 解；當(dāng)n=1時(shí)，S₁+T₁=1，即S₁=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂+S₁S₂=1，即S₂=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)n=3時(shí)，S₃+S₁S₂S₃=1，即S₃=$\frac{3}{4}$，
…，
猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，從而a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n（n+1）}$，
令n₀（n₀+1）=2015，∴n₀∈（44，45），
∵a₄₄=$\frac{1}{1980}$，a₄₅=$\frac{1}{2070}$，
因此n₀=44，
故答案為：44．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．