Question

16．已知函數(shù)f（x）=3^x+4^x，函數(shù)g（x）=5^x，試判斷兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)及公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得x=2是方程的解，再證明唯一解，即可．

解答 解：f（x）=g（x），
∴3^x+4^x=5^x，兩邊除5^x，
∴（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x=1
顯然x=2時(shí)成立，
令m（x）=（$\frac{3}{5}$）^x，n（x）=（$\frac{4}{5}$）^x，
∵0＜$\frac{3}{5}$＜1，0＜$\frac{4}{5}$＜1，
∴m（x）和n（x）是減函數(shù)，
∴x＜2時(shí)，m（x）＞m（2），n（x）＞n（2），
∴x＜2時(shí)，（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x＞（$\frac{3}{5}$）²+（$\frac{4}{5}$）²=1，
同理，x＞2時(shí)，（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x＞（$\frac{3}{5}$）²+（$\frac{4}{5}$）²=1，
∴只有x=2時(shí)，（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x=1才成立，
即，（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x=1只有一個(gè)解，
∴f（x）=g（x）只有一個(gè)解，
∴公共點(diǎn)有1個(gè)，
當(dāng)x=2，f（2）=g（2）=25，
∴公共點(diǎn)的坐標(biāo)（2，25）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明方程的解唯一性，屬于中檔題．