Question

18．設(shè)集合G中的元素是所有形如a+b$\sqrt{2}$（a∈Z，b∈Z）的數(shù)，求證：
（1）當x∈N時，x∈G；
（2）若x∈G，y∈G，則x+y∈G，而$\frac{1}{x}$不一定屬于集合G．

Answer 1

分析 （1）任取一個自然數(shù)n，只要說明存在整數(shù)a，b，使得n=a+b$\sqrt{2}$的形式即可；
（2）證明若x∈G，y∈G，則x+y∈G，采用直接證明，而說明$\frac{1}{x}$不一定屬于集合G，可舉一反例．

解答 證明：（1）不妨設(shè)x=n（x∈N），則$x=n+0×\sqrt{2}$，
∴a=n，b=0．
∴x∈G；
（2）設(shè)x=a+b$\sqrt{2}$（a∈Z，b∈Z），y=c+d$\sqrt{2}$（c∈Z，d∈Z），
則x+y=a+b$\sqrt{2}$+c+d$\sqrt{2}$=（a+c）+（b+d）$\sqrt{2}$∈G；
取x=1+2$\sqrt{2}$∈G，而$\frac{1}{x}=\frac{1}{1+2\sqrt{2}}=\frac{1-2\sqrt{2}}{（1+2\sqrt{2}）（1-2\sqrt{2}）}=\frac{1-2\sqrt{2}}{-7}$=$-\frac{1}{7}+\frac{2}{7}\sqrt{2}$∉G．

點評 本題考查元素與集合關(guān)系的判斷，考查了集合的表示方法，是基礎(chǔ)題．