5.如圖,ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體,任作平面α與對角線AC1垂直,使得α與正方體的每個面都有公共點,這樣得到的截面多邊形的面積為S,周長為l的范圍分別是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]、{3$\sqrt{2}$}(用集合表示)

分析 由線面垂直的性質(zhì)可知截面多邊形的邊與所在正方形的對角線平行,利用相似比即可得出截面周長為定值,再根據(jù)對稱性和基本不等式得出面積的最值.

解答 解:連結(jié)A1B,A1D,BD,則AC1⊥平面A1BD,
∴AC1⊥A1B
設(shè)平面α與平面ABB1A1的交線為EF,
則AC1⊥EF,
∴EF∥A1B,
同理可得平面α與其他各面的交線都與此平面的對角線平行,
設(shè)$\frac{EF}{{A}_{1}B}$=λ,則$\frac{{B}_{1}E}{{A}_{1}{B}_{1}}$=B1E=λ,∴$\frac{DE}{{B}_{1}{D}_{1}}$=1-λ,
∴EF+DE=$\sqrt{2}$λ+$\sqrt{2}$(1-λ)=$\sqrt{2}$,
同理可得六邊形其他相鄰兩邊的和為$\sqrt{2}$,
∴六邊形的周長l為定值3$\sqrt{2}$.
∴當(dāng)六邊形的邊長相等即截面為正六邊形時,截面面積最大,
最大面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}×6$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$,
當(dāng)截面為正三角形時,截面面積最小,
最小面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{2})^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
故答案為:$[\frac{{\sqrt{3}}}{2},\frac{{3\sqrt{3}}}{4}]$,$\{3\sqrt{2}\}$.

點評 本題考查了利用平面幾何的知識解決立體幾何,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.襄陽農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析研究,他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫度與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下數(shù)據(jù):
日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日
溫差x(℃)101113128
發(fā)芽數(shù)y(顆)2326322616
襄陽農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)若選取的是12月1日與12月5日這兩組數(shù)據(jù),情根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過1顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
注:$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n•{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})•({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$•$\overline{x}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

8.總體由編號為01,02,…,29,30的30個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取4個個體.選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出的第4個個體的編號為29
7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800
3204 9234 4935 3623 4869 6938 7481

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.春天是鼻炎和感冒的高發(fā)期,某人在春季里鼻炎發(fā)作的概率為0.8,鼻炎發(fā)作且感冒的概率為0.6,則此人鼻炎發(fā)作的條件下,他感冒的概率為( 。
A.0.48B.0.40C.0.64D.0.75

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20.如圖,在正三棱錐A-BCD中,AB=$\sqrt{5}$,點A到底面BCD的距離為1,E為棱BC的中點.
(1)求異面直線AE與CD所成角的大;(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(2)求正三棱錐A-BCD的表面積.

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10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G,H分別為棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中點,則下列直線中與直線EF相交的是( 。
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17.在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查 了100人,其中女性55人,男性45人.女性中有40人主要的休閑方式是看電視,另外15人主要的休閑方式是運動;男性中有20人主要休閑方式是看電視,另外25人主要休閑方式是運動.
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(2)是否有99%的把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系?${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
p(k2≥k00.0500.0100.001
k03.8416.63510.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.一個幾何體的三視圖如圖所示,已知這個幾何體的體積為$10\sqrt{3}$,則這個幾何體的外接球的表面積為(  )
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1.當(dāng)x>0時,不等式x2-mx+9>0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( 。
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