Question

7．邊長為4的正方形ABCD的中心為O，以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，點M是圓O上的任意一點，點N是邊AB、BC、CD上的任意一點（含端點），則$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$的取值范圍是（　　）

• A． [-18，18]
• B． [-16，16]
• C． [-12，12]
• D． [-8，8]

Answer 1

分析 先以E為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{DA}$=（0，-4），設(shè)P（cosα，sinα），分N在邊AB，BC，CD上三種情況，當(dāng)N在邊AB上時可設(shè)N（x₀，-2），
求出$\overrightarrow{MN}$=（x₀-cosα，-2-sinα），$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$=8+4sinα，所以由-4≤4sinα≤4可得到4≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤12，同樣的辦法求出另外兩種情況下的$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$的取值范圍，最后對這三種情況下所得$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$求并集即可得到$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$的取值范圍．

解答 解：以E為坐標(biāo)原點，x軸∥AB，y軸∥AD，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
設(shè)M（cosα，sinα），$\overrightarrow{DA}$=（0，-4），
（1）若N點在邊AB上，設(shè)N（x₀，-2），-2≤x₀≤2，則：$\overrightarrow{MN}$=（x₀-cosα，-2-sinα），$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$=8+4sinα，所以由-4≤4sinα≤4可得到4≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤12；
（2）若N點在邊BC上，設(shè)N（2，y₀），-2＜y₀≤2，則：$\overrightarrow{MN}$=（2-cosα，y₀-sinα），$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$=-4y₀+4sinα，所以由-8≤-4y₀≤8，-4≤4sinα≤4可得到-12≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤12，
（3）若N點在邊CD上，設(shè)N（x₀，2），-2≤x₀＜2，則：$\overrightarrow{MN}$=（x₀-cosα，-2-sinα），$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$=-8+4sinα，所以由-4≤4sinα≤4可得到-12≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤-4；
∴綜上可得-12≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤12；
故選C．

點評 本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決問題的方法，由點的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，設(shè)出P點坐標(biāo)，討論Q點所在的邊是求解本題的關(guān)鍵