Question

18．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，則向量$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為30°．

Answer 1

分析 將已知等式平方展開得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，${\overrightarrow}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，令$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，則由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，${\overrightarrow}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，可得四邊形OACB為矩形，∠BOC為向量$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角，數(shù)形結合求得cos∠BOC 的值，可得∠BOC 的值，即為所求

解答 解：因為非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=4|$\overrightarrow{a}$|²，化簡得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，${\overrightarrow}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，
令$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，則由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，${\overrightarrow}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$，可得四邊形OACB為矩形，∠BOC為向量$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角．
令OA=1，則OC=2，直角三角形OBC中，cos∠BOC=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOC=30°；
故答案為：30°．

點評 本題考查向量的數(shù)量積、模、夾角的運算．本題的關鍵是將已知轉化，得出兩個向量的關系，屬于中檔題