Question

17．一個四面體的棱長都為1，四個頂點都在同一個球面上，則此球的表面積為$\frac{3π}{2}$．

Answer 1

分析 將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關系，求解即可．

解答 解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同．
∵正四面體為1，∴正方體的棱長是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵球的直徑是正方體的對角線，設球半徑是R，
∴2R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，球的表面積為4π（$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=$\frac{3π}{2}$．
故答案為：$\frac{3π}{2}$．

點評 巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉化．若已知正四面體V-ABC的棱長為a，求外接球的半徑，我們可以構造出一個球的內接正方體，再應用對角線長等于球的直徑可求得．