已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面邊長AB=2,AB1⊥BC1,點(diǎn)O、O1分別是邊AC,A1C1的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
(1)求正三棱柱的側(cè)棱長;
(2)若M為BC1的中點(diǎn),試用基向量
AA1
、
AB
、
AC
表示向量
AM

(3)求異面直線AM與BC所成角.
分析:(1)利用坐標(biāo)表示點(diǎn),進(jìn)而表示向量,借助于AB1⊥BC1,可建立方程,從而可求正三棱柱的側(cè)棱長;
(2)利用M為BC1的中點(diǎn),可得
AM
=
1
2
(
AC1
+
AB
)
,從而可解;
(3)先求
BC
,
AM
的坐標(biāo),利用其數(shù)量積,可求異面直線AM與BC所成角.
解答:解:(1)設(shè)側(cè)棱長為b,則A(0,-1,0),B1
3
,0,b),B(
3
,0,0),C1(0,1,b)
AB1
={
3
,1,b},
BC1
={-
3
,1,b}          …3 分
∵AB1⊥BC1∴-3+1+b2=0,b=
2
…(5分)
(2)∵M(jìn)為BC1的中點(diǎn),
AM
=
1
2
(
AC1
+
AB
) =
1
2
(
AA1
+
AB
+
AC
)
…(8分)
(3)設(shè)異面直線AM與BC所成角為α,
BC
=(-
3
,1,0)
AM
=(
3
2
,
3
2
2
2
)
…(10分)
BC
AM
=-
3
2
+
3
2
+0=0
,∴α=90°…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是用空間向量求直線間的夾角與距離,主要考查用坐標(biāo)表示向量,考查異面直線AM與BC所成角,關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示向量
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1,高為h(h>2),動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)棱BB1上移動(dòng).設(shè)AM與側(cè)面BB1C1C所成的角為θ.
(1)當(dāng)θ∈[
π
6
,
π
4
]
時(shí),求點(diǎn)M到平面ABC的距離的取值范圍;
(2)當(dāng)θ=
π
6
時(shí),求向量
AM
BC
夾角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長均為a,M為棱A1C1上的動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)M在何處時(shí),BC1∥平面MB1A,并證明之;
(2)在(1)下,求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大。
(3)求B-AB1M體積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面邊長為8,對(duì)角線B1C=10,
(1)若D為AC的中點(diǎn),求證:AB1∥平面C1BD;
(2)若CD=2AD,BP=λPB1,當(dāng)λ為何值時(shí),AP∥平面C1BD;
(3)在(1)的條件下,求直線AB1到平面C1BD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),AA1=AB=1.
(1)求證:平面AB1D⊥平面B1BCC1;
(2)求證:A1C∥平面AB1D;
(3)求二面角B-AB1-D的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•湖北模擬)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都為a,P為棱A1B上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)試確定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點(diǎn)C1到面PAC的距離.

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