Question

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，若f（0）=

1

8

，且對任意的x∈R，滿足f（x+2）-f（x）=3^x，f（x+4）-f（x）=10×3^x，則f（2014）=

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的前n項和,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：通過函數(shù)的遞推關(guān)系式，寫出f（2014），得到一個等比數(shù)列，然后求出和值即可．

解答： 解：∵f（x+2）-f（x）=3^x，f（x+4）-f（x）=10×3^x，
∴f（2014）=f（2010）+10×3²⁰¹⁰=f（2006）+10×3²⁰¹⁰+10×3²⁰⁰⁶=…=f（2）+10×3²⁰¹⁰+10×3²⁰⁰⁶+…+10×3²=f（2）+10（3²⁰¹⁰+3²⁰⁰⁶+…+3²）=f（0）+3+（3²+3⁶+…+3²⁰¹⁰）
=f（0）+3⁰+

90(32012-1)

34-1

=

1

8

+1+

32014-9

8

=

32014

8

．
故答案為：

32014

8

．

點評：本題考查函數(shù)值的求法，等比數(shù)列求和的應(yīng)用，考查計算能力．