Question

已知島A南偏東30°方向，距島A 20海里的B處有一緝私艇，一艘走私艇正從A處以30海里/小時(shí)的航速沿正東方向勻速行駛．假使緝私艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航速勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)截住該走私船．
（1）為保證緝私艇在30分鐘（含30分鐘）內(nèi)截住該走私船，試確定緝私艇航行速度的最小值；
（2）是否存在v，使得緝私艇以v海里/小時(shí)的航速行駛，總能有兩種不同的航行方向截住該走私艇，若存在，試確定v的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）先假設(shè)小艇與輪船在某處相遇，根據(jù)余弦定理可得到（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范圍可求得v的最小值．
（2）根據(jù)（1）中v與t的關(guān)系式，設(shè)

1

t

=u然后代入關(guān)系式整理成400u²-600u+900-v²=0，將問題等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根的問題，進(jìn)而得解．

解答： 解：（1）設(shè)小艇與輪船在某處相遇
由題意可得：（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°）
化簡(jiǎn)得：v²=

400

t2

-

600

t

+900=400(

1

t

-

3

4

)2+675
由于0＜t≤

1

2

，即

1

t

≥2
所以當(dāng)

1

t

=2時(shí)，v取得最小值10

13

即小艇航行速度的最小值為10

13

海里/小時(shí)
（2）由（1）知：v²=

400

t2

-

600

t

+900，設(shè)

1

t

=u（u＞0）
于是400u²-600u+900-v²=0①
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價(jià)于方程①應(yīng)有兩個(gè)不等正根，即

6002-1600(900-v2)＞0 900-v2＞0

，解得15

3

＜v＜30
所以，v 的取值范圍是（15

3

，30）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．