Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且|MN|=8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點，求

PM

•

PN

的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）過點F且斜率為1的直線代入拋物線，利用|MN|=8，可得x₁+x₂+p=8，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)l方程為y=x+b，代入y²=4x，利用直線l為拋物線C的切線，求出b，再利用向量的數(shù)量積公式求

PM

•

PN

，利用配方法可求最小值．

解答： 解：（1）由題可知F(

p

2

，0)，則該直線方程為：y=x-

p

2

，…（1分）
代入y²=2px（p＞0）得：x2-3px+

p2

4

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x₁+x₂=3p…（3分）
∵|MN|=8，∴x₁+x₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴拋物線的方程為：y²=4x．…（5分）
（2）設(shè)l方程為y=x+b，代入y²=4x，得x²+（2b-4）x+b²=0，
∵l為拋物線C的切線，∴△=0，
解得b=1，∴l(xiāng)：y=x+1…（7分）
由（1）可知：x₁+x₂=6，x₁x₂=1
設(shè)P（m，m+1），則

PM

=(x1-m，y1-(m+1))，

PN

=(x2-m，y2-(m+1))
∴

PM

•

PN

=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]
=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2
∵x₁+x₂=6，x₁x₂=1，(y1y2)2=16x1x2=16，y₁y₂=-4，y12-y22=4(x1-x2)，
∴y1+y2=4

x1-x2

y1-y2

=4，
∴

PM

•

PN

=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2…（10分）
=2[m²-4m-3]=2[（m-2）²-7]≥-14
當(dāng)且僅當(dāng)m=2時，即點P的坐標(biāo)為（2，3）時，

PM

•

PN

的最小值為-14．…（12分）

點評：本題考查拋物線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，韋達定理的運用，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．