Question

16．已知函數(shù)g（x）=ax-lnx，當x∈（0，e]時，函數(shù)g（x）有最小值為3，則a的值為e²．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后對a分類求得g（x）在（0，e]上的單調(diào)性，求出最小值，由最小值等于3求得a的值．

解答 解：由g（x）=ax-lnx，得
g′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
①當a≤0時，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1，由ae-1=3，得a=$\frac{4}{e}$，（舍去）；
②當0＜$\frac{1}{a}$＜e時，g（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上單調(diào)遞減，g（x）在（$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞增，
∴$g（x）_{min}=g（\frac{1}{a}）$=1+lna，由1+lna=3，得a=e²，滿足條件；
③當$\frac{1}{a}$≥e，即a$≤\frac{1}{e}$時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1，由ae-1=3，得a=$\frac{4}{e}$，（舍去）．
綜上可知，當a=e²時，函數(shù)g（x）有最小值為3．
故答案為：e²．

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．