Question

如圖是利用圓x²+y²=2、函數(shù)y=x²及y=-x²的圖象得到的．在這個(gè)圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在陰影部分的概率是（　　）

• A、

  1

  2

  -

  2

  3π

• B、

  1

  2

  +

  2

  3π

• C、

  1

  2

  +

  1

  3π

• D、

  1

  2

  -

  1

  3π

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：聯(lián)立

x2+y2=2 y=x2

可解得圓x²+y²=2和函數(shù)y=x²及的交點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合對(duì)稱性可由定積分求陰影的面積，由幾何概型的概率公式可得．

解答： 解：聯(lián)立

x2+y2=2 y=x2

可解得圓x²+y²=2和函數(shù)y=x²及的交點(diǎn)為（1，1），（-1，1），
設(shè)陰影面積為S，則由對(duì)稱性可知S=4（

∫

1 0

x2dx

+∫

2 1

2-x2dx

），
求定積分可得

∫

1 0

x2dx=

1

3

x3

|

1 0

=

1

3

，
求

∫

2 1

2-x2dx

時(shí)，設(shè)x=

2

sint，t∈[

π

4

，

π

2

]，
則

∫

2 1

2-x2dx

=

∫

π 2 π 4

(

2

cost)•

2

costdt
=

∫

π 2 π 4

2cos2tdt=

∫

π 2 π 4

(1+cos2t)dt
=（t+

1

2

sin2t）

|

π 2 π 4

=

π

4

-

1

2

，∴S=π-

2

3

，
∴此點(diǎn)落在陰影部分的概率P=

π- 2 3

2π

=

1

2

-

3

π

故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型，由定積分求解陰影的面積是解決問題的關(guān)鍵，涉及換元法的應(yīng)用，屬中檔題．