Question

12．已知拋物線x²=4y，過點(diǎn)P（0，2）作斜率分別為k₁，k₂的直線l₁，l₂，與拋物線分別交于兩點(diǎn)，若k₁k₂ =-$\frac{3}{4}$，則四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的最小值為（　　）

• A． 18$\sqrt{3}$
• B． 20$\sqrt{3}$
• C． 22$\sqrt{3}$
• D． 24$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)直線l₁：y=k₁x+2，l₂：y=k₂x+2，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，結(jié)合條件，化簡(jiǎn)整理，令t=k₁-k₂，設(shè)k₁＞0，k₂＜0，再由基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最小值．

解答 解：設(shè)直線l₁：y=k₁x+2，l₂：y=k₂x+2，
將y=k₁x+2代入拋物線方程，可得x²-4k₁x-8=0，
即有x₁+x₂=4k₁，x₁x₂=-8，
則弦長(zhǎng)AC=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{2+{{k}_{1}}^{2}}$，
同樣可得弦長(zhǎng)BD=4$\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}$•$\sqrt{2+{{k}_{2}}^{2}}$，
由于k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，設(shè)k₁＞0，k₂＜0，兩直線的夾角θ的正切為tanθ=|$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$|=4|k₁-k₂|，
四邊形ABCD的面積為S=$\frac{1}{2}$AC•BD•sinθ=8（$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}$）•（$\sqrt{2+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{2+{{k}_{2}}^{2}}$）sinθ
=8$\sqrt{1+\frac{9}{16}+{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}}$•$\sqrt{4+\frac{9}{16}+2（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）}$•$\frac{4|{k}_{1}-{k}_{2}|}{\sqrt{1+16（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}}$
=8（k₁-k₂）$\sqrt{\frac{73}{16}+2（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）}$，
令t=k₁-k₂=k₁+$\frac{3}{4{k}_{1}}$≥2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$，
則有S=8t$\sqrt{\frac{25}{16}+2{t}^{2}}$=8$\sqrt{{t}^{2}（\frac{25}{16}+2{t}^{2}）}$≥8$\sqrt{3×（\frac{25}{16}+6）}$=22$\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)k₁=-k₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$取得最小值，
即有四邊形面積的最小值為22$\sqrt{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．