Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a、b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 由f（x）求導(dǎo)得g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，再求導(dǎo)得g′（x）=e^x-2a，從而討論a以確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值點(diǎn)及最小值即可．

解答 解：∵f（x）=e^x-ax²-bx-1，
∴g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b．
所以g′（x）=e^x-2a．
當(dāng)x∈[0，1]時，g′（x）∈[1-2a，e-2a]．
當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增．
因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；
當(dāng)a≥$\frac{e}{2}$時，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$時，令g′（x）=0得x=ln（2a）∈（0，1）．
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，ln（2a）]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（2a），1]上單調(diào)遞增．
于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；
綜上所述，
當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；
當(dāng)a≥$\frac{e}{2}$時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．