Question

1．設(shè)S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，其中a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N⁺）
（1）求常數(shù)λ的值，并寫出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=$\frac{1}{{μ}^{{a}_{n}}}$（μ＞1），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)任意的n≥2，都有T_n$＞\frac{2}{3}$成立，求μ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N⁺），分別取n=1，2，可得a₂，a₃，利用數(shù)列{a_n}的為等差數(shù)列，可得2a₂=a₁+a₃，解得λ，再利用通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{1}{{μ}^{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{{μ}^{n}}$，可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{μ}+\frac{1}{{μ}^{2}}$+…+$\frac{1}{{μ}^{n}}$，判斷數(shù)列{T_n}是單調(diào)性，即可得出．

解答 解：（1）由a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N⁺），分別取n=1，2，可得a₂=$\frac{1}{λ}$，${a}_{3}=1+\frac{1}{λ}$，
∵數(shù)列{a_n}的為等差數(shù)列，
∴2a₂=a₁+a₃，
∴$\frac{2}{λ}=1+1+\frac{1}{λ}$，解得λ=$\frac{1}{2}$，
∴d=a₂-a₁=2-1=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=$\frac{1}{{μ}^{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{{μ}^{n}}$，∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{μ}+\frac{1}{{μ}^{2}}$+…+$\frac{1}{{μ}^{n}}$，
∵T_n+1-T_n=$\frac{1}{{μ}^{n+1}}$＞0，
∴數(shù)列{T_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∵對(duì)任意的n≥2，都有T_n$＞\frac{2}{3}$成立，
∴T₂=$\frac{1}{μ}$+$\frac{1}{{μ}^{2}}$$＞\frac{2}{3}$，又1＜μ，解得1＜μ＜$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$，
∴μ的取值范圍是$（1，\frac{3+\sqrt{33}}{4}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用、數(shù)列的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．