Question

18．（1）解不等式：|x-1|+|x-2|≤2．
（2）求函數(shù)$y=x\sqrt{1-{x^2}}（{0＜x＜1}）$的最大值．

Answer 1

分析 （1）討論x的取值范圍，去掉絕對值，把原不等式化簡、求出解集；
（2）利用基本不等式即可求出函數(shù)$y=x\sqrt{1-{x^2}}（{0＜x＜1}）$的最大值．

解答 解：（1）當1≤x≤2時，原不等式化為x-1+2-x≤2，不等式恒成立，∴1≤x≤2；
當x＜1時，原不等式化為1-x+2-x≤2，解得x≥$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤x＜1；
當x＞2時，原不等式化為x-1+x-2≤2，解得x≤$\frac{5}{2}$，∴2＜x≤$\frac{5}{2}$；
綜上，不等式|x-1|+|x-2|≤2的解集為{x|$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$}；
（2）∵0＜x＜1，∴函數(shù)y=x$\sqrt{1{-x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}{+（\sqrt{1{-x}^{2}}）}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
當且僅當x²=$\sqrt{1{-x}^{2}}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取“=”，
∴函數(shù)$y=x\sqrt{1-{x^2}}（{0＜x＜1}）$的最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了含有絕對值不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是綜合題．