Question

8．若a，b，c為正實數(shù)，求證：$\frac{b+c}{a}，\frac{a+c}，\frac{a+b}{c}$三個數(shù)中至少有一個不小于2．

Answer 1

分析 假設$\frac{b+c}{a}，\frac{a+c}，\frac{a+b}{c}$三個數(shù)都小于2，因為：a＞0，b＞0，所以$\frac{a}+\frac{a}≥2$，同理$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}≥2，\frac{c}+\frac{c}≥2$，相加可$\frac{a}+\frac{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}+\frac{c}≥6$，再結(jié)合$\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}+\frac{a+b}{c}＜6$，引出矛盾，即可得出結(jié)論．

解答 證明：假設$\frac{b+c}{a}，\frac{a+c}，\frac{a+b}{c}$三個數(shù)都小于2…（2分）
因為：a＞0，b＞0，所以$\frac{a}+\frac{a}≥2$，
同理$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}≥2，\frac{c}+\frac{c}≥2$
又$\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}+\frac{a+b}{c}=\frac{a}+\frac{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}+\frac{c}$，
所以$\frac{a}+\frac{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}+\frac{c}≥6$…（6分）
由題設可知$\frac{b+c}{a}＜2，\frac{a+c}＜2，\frac{a+b}{c}＜2$
所以$\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}+\frac{a+b}{c}＜6$…（10分）
這與$\frac{a}+\frac{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}+\frac{c}≥6$相矛盾，
故假設不成立，
所以$\frac{b+c}{a}，\frac{a+c}，\frac{a+b}{c}$三個數(shù)中至少有一個不小于2…（12分）

點評 用反證法證明數(shù)學命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．