Question

6．設(shè)奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，且f（2）=0，則$\frac{{f（x）-3f（{-x}）}}{2x}＞0$的解集為（　�。�

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-∞．-2）∪（2．+∞）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，則f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．且f（-2）=f（2）=0，不等式$\frac{{f（x）-3f（{-x}）}}{2x}＞0$等價為x•f（x）＞0，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞f（2）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜f（-2）}\end{array}\right.$，解出它們，再求并集即可．

解答 解：奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，則f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．且f（-2）=f（2）=0，
不等式$\frac{{f（x）-3f（{-x}）}}{2x}＞0$等價為x•f（x）＞0，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞f（2）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜f（-2）}\end{array}\right.$，
即有0＜x＜2或-2＜x＜0．
則解集為（-2，0）∪（0，2）．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，解不等式，注意討論x的范圍，屬于中檔題．