Question

1．已知函數f（x）=alnx-x+1，α∈R．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有實數a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），根據當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，當a＞0時，若f′（x）＞0，則0＜x＜a，若f′（x）＜0，則x＞a，可得函數的單調區(qū)間；
（2）分別討論a≤0和a＞0的情況：a≤0時，發(fā)現在（0，1）上函數f（x）＞0，∴f（x）≤0在區(qū)間x∈（0，+∞）上不可能恒成立；當a＞0時，再次求導求出a的值

解答 解：（1）∵f（x）=alnx-x+1，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-1=$\frac{a-x}{x}$，
當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當a＞0時，若f′（x）＞0，則0＜x＜a，若f′（x）＜0，則x＞a，
故此時，f（x）在（0，a）上單調遞增，在（a，+∞）上單調遞減；
（2）由（1）知：當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上為減區(qū)間，而f（1）=0，
∴在（0，1）上函數f（x）＞0，
∴f（x）≤0在區(qū)間x∈（0，+∞）上不可能恒成立；
當a＞0時，f（x）在（0，a）上遞增，在（a，+∞）上遞減，
f（x）_max=f（a）=alna-a+1，
令g（a）=alna-a+1，
依題意有g（a）≤0，
而g′（a）=lna，且a＞0
∴g（a）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴g（a）_min=g（1）=0，
故a=1，

點評 本題考查的知識點是利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，是導數綜合應用，運算量大，分類標準比較難找，屬于中檔題．