Question

6．已知函數(shù)f（x）=x+alnx；
（1）當(dāng)a=-1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的極值；
（3）若函數(shù)f（x）沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=-1代入，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（3）通過討論a的范圍結(jié)合零點的判定定理，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=x-lnx，（x＞0），∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）由已知f（x）=x+alnx，得函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且f（x）=1+$\frac{a}{x}$，
當(dāng)a≥0時，在x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，+∞），無遞減區(qū)間，
故此時f（x）無極值；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）與f′（x）的定義域上的情況如下：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	最小值	遞增

此時函數(shù)f（x）的極小值為f（-a）=a[ln（-a）-1]，無極大值，
綜上：當(dāng)a≥0時，f（x）無極值；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）有極小值為f（-a）=a[ln（-a）-1]，無極大值．
（3）由（2）得：
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
且f（${e}^{-\frac{1}{a}}$）=${e}^{-\frac{1}{a}}$+aln${e}^{-\frac{1}{a}}$=${e}^{-\frac{1}{a}}$-1＜1-1=0，f（1）=1＞0，
則f（${e}^{-\frac{1}{a}}$）•f（1）＜0，此時函數(shù)f（x）有零點，不符合題意，
當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上沒有零點，
當(dāng)a＜0時，f（-a）是函數(shù)f（x）的極小值，也是函數(shù)f（x）的最小值，
∴當(dāng)f（-a）=a[ln（-a）-1]＞0，即a＞-e時，函數(shù)f（x）沒有零點，
綜上，當(dāng)-e＜a≤0時，f（x）沒有零點，即a的取值范圍是（-e，0]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，零點問題，考查分類討論思想，本題屬于中檔題．