11．已知a，b，c＞0，a+b+c=1．求證：
（Ⅰ）$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$
（Ⅱ）$\frac{1}{3a+1}$+$\frac{1}{3b+1}$+$\frac{1}{3c+1}$≥$\frac{3}{2}$．

分析 （Ⅰ）由柯西不等式得：（$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$）2≤（12+12+12）[（$\sqrt{a}$）2+（$\sqrt$）2+（$\sqrt{c}$）2]=3，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）由柯西不等式得：[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]（$\frac{1}{3a+1}$+$\frac{1}{3b+1}$+$\frac{1}{3c+1}$）≥（$\sqrt{3a+1}$•$\frac{1}{\sqrt{3a+1}}$+$\sqrt{3b+1}$•$\frac{1}{\sqrt{3b+1}}$+$\sqrt{3c+1}$•$\frac{1}{\sqrt{3c+1}}$）2，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$）2≤（12+12+12）[（$\sqrt{a}$）2+（$\sqrt$）2+（$\sqrt{c}$）2]=3，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）由柯西不等式得：[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]（$\frac{1}{3a+1}$+$\frac{1}{3b+1}$+$\frac{1}{3c+1}$）
≥（$\sqrt{3a+1}$•$\frac{1}{\sqrt{3a+1}}$+$\sqrt{3b+1}$•$\frac{1}{\sqrt{3b+1}}$+$\sqrt{3c+1}$•$\frac{1}{\sqrt{3c+1}}$）2=9
∴$\frac{1}{3a+1}$+$\frac{1}{3b+1}$+$\frac{1}{3c+1}$≥$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查柯西不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．求過(guò)點(diǎn)（2$\sqrt{3}$，2）、（$\sqrt{6}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

2．以AB為直徑的圓內(nèi)有一內(nèi)接梯形ABCD，且AB∥CD，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓恰好過(guò)C，D兩點(diǎn)，當(dāng)梯形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí)，此橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

19．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于（　　）
A．$\frac{20}{3}$B．$\frac{22}{3}$C．$\frac{24}{3}$D．$\frac{26}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

6．設(shè)a=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$，b=log${\;}_{\frac{1}{3}}$2，c=log${\;}_{\frac{1}{2}}$3，則（　　）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞a＞b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

16．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{6}$），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l的距離的最小值與最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=5，S8=64．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{S}_{n-1}}+\frac{1}{{S}_{n+1}}$＞$\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

20．函數(shù)y=$\sqrt{3}$sin4x-3cos4x+1的最小正周期和最小值分別是（　�。�
A．π和1-$\sqrt{3}$B．π和1-2$\frac{π}{2}$$\sqrt{3}$C．$\frac{π}{2}$和1-$\sqrt{3}$D．$\frac{π}{2}$和1-2$\sqrt{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且${s}_{n}=\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}n（n∈{N}^{*}）$．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${c}_{n=}\frac{1}{（2{a}_{n}-11）（2{a}_{n}-9）}$，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求使不等式Tn＞$\frac{k}{2014}$對(duì)一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值；
（3）設(shè)f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}（n=2k-1，k∈{N}^{*}）}\\{3{a}_{n}-13（n=2k，k∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$，是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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