Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.（α$為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x為正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}acos（θ-\frac{3π}{4}）（a＞0）$．
（1）求直線l與曲線C₁交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）；
（2）若直線l與曲線C₂相切，求a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.（α$為參數(shù)），可得y=（cosα+sinα）²=x²，（x∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$）．直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$，展開為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．聯(lián)絡(luò)員解得交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，化為極坐標(biāo)即可得出．
（2）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}acos（θ-\frac{3π}{4}）（a＞0）$，展開為ρ²=2$\sqrt{2}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-ρcosθ+ρsinθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²即可得出直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切的充要條件即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.（α$為參數(shù)），∴y=（cosα+sinα）²=x²，即y=x²，（x∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$）．
直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$，展開為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=$\sqrt{2}$，化為x+y=2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為：$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$．
（2）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}acos（θ-\frac{3π}{4}）（a＞0）$，展開為ρ²=2$\sqrt{2}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-ρcosθ+ρsinθ），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²+2ax-2ay=0，
配方為（x+a）²+（y-a）²=2a²．
∴圓心為（-a，a），半徑為$\sqrt{2}$a，
∵直線l與曲線C₂相切，∴$\frac{|-a+a-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$a，解得a=1．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．