Question

7．設(shè)α、β、γ滿足0＜α＜β＜γ＜2π，若對(duì)任意x∈R，cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ）=0恒成立，則γ-α的值是（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$
• D． 無(wú)法確定

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），通過(guò)賦值f（-α）=0，f（-β）=0，f（-γ）=0，可求得cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合已知0＜α＜β＜γ＜2π，即可求得答案．

解答 解：設(shè)f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），
由題意知，?x∈R，f（x）=0恒成立，
則f（-α）=f（-β）=f（-γ）=0，
∴cos（β-α）+cos（γ-α）=cos（β-α）+cos（γ-β）=cos（γ-α）+cos（γ-β）=-1，
故cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$．
由于0＜α＜β＜γ＜2π，
故β-α，γ-β，γ-α∈{$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$}，從而γ-α=$\frac{4π}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，突出考查構(gòu)造函數(shù)思想與賦值法的應(yīng)用，考查綜合分析與運(yùn)算的能力，屬于難題．