Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$ （n≥2），a₁=1．
（1）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過裂項(xiàng)可知$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，進(jìn)而利用累加法計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）知a_n=2n-1，利用等差數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-2}}{n-2}$=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{2}$-$\frac{{a}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{2}$，
以上各式相加得$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{n}$，
即b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$+1-$\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\frac{{a}_{n}}{n}$=2-$\frac{1}{n}$，即a_n=2n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．