Question

9．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a＞0時，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有兩個極值點為x₁，x₂，其中x₁∈（0，e]，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令g′（x）=0，設(shè)出方程的兩根為x₁，x₂，得到$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-a}\\{{x_1}{x_2}=1}\end{array}}\right.$，得到${x_2}=\frac{1}{x_1}$，$a=-（{x_1}+\frac{1}{x_1}）$，確定a的符號，求出g（x₁）-g（x₂）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最小值即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域（0，+∞），
${f^'}（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-ax+1}}{x^2}$，
令f′（x）=0，得x²-ax+1=0，
①當(dāng)0＜a≤2時，△=a²-4≤0，此時，f′（x）≥0恒成立，
所以，f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞2時，△=a²-4＞0，
解x²-ax+1=0的兩根為：${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}$，${x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}$，
當(dāng)$x∈（0，\frac{{a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}）$時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)$x∈（\frac{{a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}）$時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)$x∈（\frac{{a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}，+∞）$時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
綜上得，當(dāng)0＜a≤2時，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間；
當(dāng)a＞2時，f（x）的遞增區(qū)間為$（0，\frac{{a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}）$，$（\frac{{a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}，+∞）$，
遞減區(qū)間為$（\frac{{a-\sqrt{{a^2}-4}}}{2}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}-4}}}{2}）$；
（2）$g（x）=x-\frac{1}{x}+alnx$，定義域為（0，+∞），
${g^'}（x）=1+\frac{1}{x^2}+\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x^2}$，
令g′（x）=0，得x²+ax+1=0，其兩根為x₁，x₂，且$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-a}\\{{x_1}{x_2}=1}\end{array}}\right.$，
所以，${x_2}=\frac{1}{x_1}$，$a=-（{x_1}+\frac{1}{x_1}）$，∴a＜0．
∴$g（{x_1}）-g（{x_2}）=g（{x_1}）-g（\frac{1}{x_1}）={x_1}-\frac{1}{x_1}+aln{x_1}-（\frac{1}{x_1}-{x_1}+aln\frac{1}{x_1}）$
=$2（{x_1}-\frac{1}{x_1}）+aln{x_1}=2（{x_1}-\frac{1}{x_1}）-2（{x_1}+\frac{1}{x_1}）ln{x_1}$，
設(shè)$h（x）=2（x-\frac{1}{x}）-2（x+\frac{1}{x}）lnx$，x∈（0，e]，
則（g（x₁）-g（x₂））_min=h（x）_min．
∵${h^'}（x）=2（1+\frac{1}{x^2}）-2[（1-\frac{1}{x^2}）lnx+（x+\frac{1}{x}）\frac{1}{x}]=\frac{2（1+x）（1-x）lnx}{x^2}$，
當(dāng)x∈（0，e]時，恒有h′（x）≤0，
∴h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減；
∴$h{（x）_{min}}=h（e）=-\frac{4}{e}$，
∴${（g（{x_1}）-g（{x_2}））_{min}}=-\frac{4}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．