Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+S_n=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到；
（2）求得${b_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁=2a₁=2，∴a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+S_n=2及a_n-1+S_n-1=2，得a_n-a_n-1+S_n-S_n-1=0，
即2a_n=a_n-1，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
∴${a_n}=1×{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．
（2）由（1）得${b_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
${T_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$．
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
兩式相減得$\frac{1}{2}{T_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}=\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．
∴${T_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．