Question

9．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，以C的右焦點(diǎn)F為圓心，以a為半徑的圓與C的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓相交時的弦長公式結(jié)合雙曲線離心率的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵雙曲線的一個焦點(diǎn)為F（c，0），雙曲線的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0，
∴焦點(diǎn)到漸近線的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
∵|AF|=|BF|=a，△ABF為等邊三角形，
∴|AB|=2|AD|=2$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=a，
平方得4（a²-b²）=a²，
即a²-c²+a²=$\frac{1}{4}$a²，
則$\frac{7}{4}$a²=c²，
即離心率e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．