Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)．
（1）求四棱錐O-ABCD的體積；
（2）求異面直線OC和MD所成角的正切值大小．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：（1）四棱錐O-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為2，由公式即可求得體積；
（2）根據(jù)異面直線所成角的定義作出OC和MD所成角再求出其大小即可得出所求的正切值．

解答： 解：（1）由題意，四棱錐的底面積是2×2=4，高為2，故其體積為

1

3

×4×2=

8

3

；
（2）連接AC，BD交于一點(diǎn)N，連接MN，ND，
由于N，M是中點(diǎn)，可得MN∥OC，所以∠NMD即為異面直線OC和MD所成角（或補(bǔ)角）
由已知OA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，可得Rt△MAD，Rt△MAN，Rt△MND
又由題設(shè)可得AM=1，DN=AN=

2

，在Rt△MAN中可得MN=

3

故tan∠NMD=

2

3

=

6

3

即異面直線OC和MD所成角的正切值大小為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角及棱錐的體積的求解，線面垂直的定義等基礎(chǔ)知識(shí)與技能屬于立體幾何中的基礎(chǔ)題，要好好把握其解答規(guī)律．