Question

如圖，在空間中的Rt△ABC與直角梯形EFGD中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AC∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．求二面角D-CG-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：在平面ADGC中，過(guò)M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠MNF是所求二面角的平面角，在直角三角形MNF中，先求出此角的正切值，然后再求出余弦值．

解答： 解：∵四邊形EFGD是直角梯形，AD⊥面DEFG
∴DE⊥DG，DE⊥AD，即DE⊥面ADGC，
∵M(jìn)F∥DE，且MF=DE，∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，過(guò)M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則
顯然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四邊形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM=MG=1
∴CD=CG=

5

，∴cos∠DGC=

GC2+GD2-CD2

2×GC×GD

=

5+4-5

2× 5 ×2

=

5

5

∴sin∠DGC=

2 5

5

，∴MN=MG•sin∠DGC=

2 5

5

在直角三角形MNF中，MF=2，MN=

2 5

5

∴tan∠MNF=

MF

MN

=

2

2 5 5

=

5

，cos∠MNF=

6

6

故面ADGC與面BCGF所組成的二面角余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相交平面所成二面角以及空間幾何體的幾何量的計(jì)算等知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法解決立體幾何問(wèn)題的能力．也可以利用向量法求解．