Question

在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A、B，使得|

OA

|•|

OB

|=c²，則線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可得雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，從而設(shè)A（m，

b

a

m），B（n，-

b

a

n）；從而可得

m2+ b2m2 a2

•

n2+ b2n2 a2

=c²，化簡可得|mn|=a²，令

m+n

2

=x，

b

a

（

m-n

2

）=y，從而解得m=x+

a

b

y，n=（x-

a

b

y），從而解得

x2

a2

-

y2

b2

=1或

x2

a2

-

y2

b2

=-1．

解答： 解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
∴設(shè)A（m，

b

a

m），B（n，-

b

a

n）；
∴P（

m+n

2

，

b

a

（

m-n

2

））；
則由|

OA

|•|

OB

|=c²可得，

m2+ b2m2 a2

•

n2+ b2n2 a2

=c²，
即

c2

a2

|mn|=c²，
則|mn|=a²，
令

m+n

2

=x，

b

a

（

m-n

2

）=y，
則m=x+

a

b

y，n=（x-

a

b

y），
則上式可化為
|（x+

a

b

y）（x-

a

b

y）|=a²，
故

x2

a2

-

y2

b2

=1或

x2

a2

-

y2

b2

=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的應(yīng)用，同時(shí)考查了軌跡方程的求法，屬于難題．