若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=xlnx,則不等式f(x)<-e的解集為
 
考點:函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:由奇函數(shù)的性質(zhì)f(-x)=-f(x),求出函數(shù)f(x)的解析式,對x>0時的解析式求出f′(x),并判斷出函數(shù)的單調(diào)性和極值,再由奇函數(shù)的圖象特征畫出函數(shù)f(x)的圖象,根據(jù)圖象和特殊的函數(shù)值求出不等式的解集.
解答: 解:設(shè)x<0,則-x>0,
∵當(dāng)x>0時,f(x)=xlnx,∴f(-x)=-xln(-x),
∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=-f(x)=xln(-x),
f(x)=
xlnx,x>0
xln(-x),x<0

當(dāng)x>0時,f′(x)=lnx+
1
x
=lnx+1,
令f′(x)=0得,x=
1
e
,
當(dāng)0<x<
1
e
時,f′(x)<0;當(dāng)x>
1
e
時,f′(x)>0,
∴函數(shù)f(x)在(0,
1
e
)上遞減,在(
1
e
,+∞)上遞增,
當(dāng)x=
1
e
時取到極小值,f(
1
e
)=
1
e
ln
1
e
=-
1
e
>-e,
再由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖:
∵當(dāng)x>0時,當(dāng)x=
1
e
時取到極小值,
f(
1
e
)=
1
e
ln
1
e
=-
1
e
>-e,
∴不等式f(x)<-e在(0,+∞)上無解,在(-∞,0)上有解,
∵f(-e)=(-e)ln[-(-e)]=-e,
∴不等式f(x)<-e解集是:
(-∞,-e),
故答案為:(-∞,-e).
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性的綜合運用,以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想.
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2
5
5
,則cos(θ-7π)為多少?

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設(shè)P、Q是函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)(φ為常數(shù))圖象上的兩點且橫坐標(biāo)分別為-
π
12
、
π
4
,若f(x)圖象上存在一個最高點M,使得(
MP
+
MQ
)•
PQ
=0,則下列關(guān)系一定成立的是 ( 。
A、f(
π
12
)=2
B、f(
π
12
)=-2
C、f(
π
5
)+f(
15
)=0
D、f(-
π
5
)+f(
π
30
)=0

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正方體ABCD-A′B′C′D′中,AB的中點為M,DD′的中點為N,正方形A′B′C′D′的中心為R,則異面直線MR與CN所成的角的余弦值是( 。
A、0
B、1
C、
3
5
D、
2
5

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已知函數(shù)f(x)=x2+2xsinα-1,x∈[-
3
2
,
1
2
],α∈[0,2π].
(1)當(dāng)α=
π
6
時,求f(x)的最大值和最小值,并求使函數(shù)取得最值的x的值;
(2)求α的取值范圍,使得f(x)在區(qū)間[-
3
2
,
1
2
]上是單調(diào)函數(shù).

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有一條雙向公路隧道,其橫斷面由拋物線和矩形ABCO的三邊組成,隧道的最大高度為4.9m,AB=10m,BC=2.4m.現(xiàn)把隧道的橫斷面放在平面直角坐標(biāo)系中,若有一輛高為4m,寬為2m的裝有集裝箱的汽車要通過隧道.問:如果不考慮其他因素,汽車的右側(cè)離開隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道頂部(拋物線部分為隧道頂部,AO、BC為壁)?

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an+2-an+1
an+1-an
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①等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
②等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
③通項公式為an=a•bn+c(a≠0,b≠0,1)的數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”.
其中正確的個數(shù)是(  )
A、0B、1C、2D、3

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