Question

已知橢圓的中心在原點，左焦點為F1(-

3

，0)，右頂點為D（2，0），設(shè)點A（1，

1

2

)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若一過原點的直線l與橢圓交于點B，C，△ABC的面積是

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由于左焦點為F1(-

3

，0)，右頂點為D（2，0），
可得c=

3

，a=2，再利用b²=a²-c²=1即可得出．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為：y=kx，聯(lián)立

y=kx x2+4y2=4

，即可解得交點B，C的坐標(biāo)，利用兩點之間的距離公式可得|BC|，再利用點到直線的距離公式即可得出點A到直線l的距離，利用三角形的面積計算公式即可得出．當(dāng)直線l的斜率不存在時，S_△ABC=

1

2

×2b×1=b=1≠

2

，不滿足題意，應(yīng)舍去．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵左焦點為F1(-

3

，0)，右頂點為D（2，0），
∴c=

3

，a=2，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為：y=kx，聯(lián)立

y=kx x2+4y2=4

，
化為（1+4k²）x²=4，解得x2=

4

1+4k2

，∴y2=

4k2

1+4k2

．
∴|BC|=2

x2+y2

=2

4+4k2 1+4k2

．
又點A(1，

1

2

)到直線l的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

=

|2k-1|

2 1+k2

，
∴S_△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

×2

4+4k2 1+4k2

×

|2k-1|

2 1+k2

=

2

，
化為4k²+4k+1=0，解得k=-

1

2

，
∴直線l的方程為：y=-

1

2

x．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，S_△ABC=

1

2

×2b×1=b=1≠

2

，不滿足題意，應(yīng)舍去．
綜上可得：直線l的方程為：y=-

1

2

x．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點坐標(biāo)、兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．