Question

10．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（4）=6，解不等式f（3-2x）+f（-x）＞3．

Answer 1

分析 （1）先判斷函數(shù)f（x）為定義上的單調(diào)遞減函數(shù)，再用作差比較法證明；
（2）先得出f（2）=3，將原不等式等價(jià)為：f[（3-2x）（-x）]＞f（2），再運(yùn)用函數(shù)的調(diào)調(diào)性列不等式組求解．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，證明過程如下：
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，所以，0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）-f（x₂）
=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）-f（x₂）
=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
（2）因?yàn)閒（4）=f（2）+f（2）=6，所以f（2）=3，
原不等式可寫成：f[（3-2x）（-x）]＞f（2），
再根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性得$\left\{\begin{array}{l}{3-2x＞0}\\{-x＞0}\\{（3-2x）•（-x）＜2}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{1}{2}$＜x＜0，
即原不等式的解集為：（-$\frac{1}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，以及運(yùn)用抽象函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式，屬于中檔題．