Question

1．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈（0，1），給出以下四個(gè)命題：
①四邊形MENF為平行四邊形；
②若四邊形MENF面積s=f（x），x∈（0，1），則f（x）有最小值；
③若四棱錐A-MENF的體積V=p（x），x∈（0，1），則p（x）為常函數(shù)；
④若多面體ABCD-MENF的體積V=h（x），x∈（$\frac{1}{2}$，1），則h（x）為單調(diào)函數(shù)；
其中假命題為 （　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 根據(jù)已知中正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈（0，1），逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，
∴EN∥MF，
同理：FN∥EM，
∴四邊形EMFN為平行四邊形，故正確；
②MENF的面積s=f（x）=$\frac{1}{2}$（EF×MN），
當(dāng)M為BB′的中點(diǎn)時(shí)，即x=$\frac{1}{2}$時(shí)，MN最短，此時(shí)面積最小．故正確；
③連結(jié)AF，AM，AN，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，

它們以AEF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．
因?yàn)槿�角形AEF的面積是個(gè)常數(shù)．
M，N到平面AEF的距離和是個(gè)常數(shù)，
所以四棱錐C'-MENF的體積V為常數(shù)函數(shù)，故正確．
④多面體ABCD-MENF的體積V=h（x）=$\frac{1}{2}$V_{ABCD-A′B′C′D′}=$\frac{1}{2}$為常數(shù)函數(shù)，故錯(cuò)誤；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了正方體的幾何特征，函數(shù)的最值，函數(shù)的單調(diào)性，棱錐的體積等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．