Question

15．法國數(shù)學家棣莫弗，A．（De Moivre，Abraham）證明了這樣一個結論（也稱棣莫弗定理）（cosα+isinα）ⁿ=cos（nα）+isin（nα）（這里i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)），應用此結論求下面式子的值
${C}_{7}^{0}$（cos$\frac{π}{7}$）⁷-${C}_{7}^{2}$（cos$\frac{π}{7}$）⁵（sin$\frac{π}{7}$）²+${C}_{7}^{4}$（cos$\frac{π}{7}$）³（sin$\frac{π}{7}$）⁴-${C}_{7}^{6}$（cos$\frac{π}{7}$）（sin$\frac{π}{7}$）⁶=-1．

Answer 1

分析 ${C}_{7}^{0}$（cos$\frac{π}{7}$）⁷-${C}_{7}^{2}$（cos$\frac{π}{7}$）⁵（sin$\frac{π}{7}$）²+${C}_{7}^{4}$（cos$\frac{π}{7}$）³（sin$\frac{π}{7}$）⁴-${C}_{7}^{6}$（cos$\frac{π}{7}$）（sin$\frac{π}{7}$）⁶=$\frac{1}{2}$[（cos$\frac{π}{7}$+isin$\frac{π}{7}$）⁷+（cos$\frac{π}{7}$-isin$\frac{π}{7}$）⁷]，結合棣莫弗定理，可得答案．

解答 解：${C}_{7}^{0}$（cos$\frac{π}{7}$）⁷-${C}_{7}^{2}$（cos$\frac{π}{7}$）⁵（sin$\frac{π}{7}$）²+${C}_{7}^{4}$（cos$\frac{π}{7}$）³（sin$\frac{π}{7}$）⁴-${C}_{7}^{6}$（cos$\frac{π}{7}$）（sin$\frac{π}{7}$）⁶=$\frac{1}{2}$[（cos$\frac{π}{7}$+isin$\frac{π}{7}$）⁷+（cos$\frac{π}{7}$-isin$\frac{π}{7}$）⁷]=$\frac{1}{2}$[（cosπ+isinπ）+（cosπ-isinπ）]=cosπ=-1，
故答案為：-1

點評 本題考查的知識點是二項式定理，三角函數(shù)的求值，棣莫弗定理，難度中檔．