Question

9．設(shè)f（x）=$\sqrt{4{x}^{2}-4x+1}+\sqrt{1-2x+{x}^{2}}$
（1）解不等式f（x）≥x+4．
（2）對任意的x，不等式f（x）≥（m²-3m+3）•|x|恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分情況將原不等式絕對值符號去掉，然后求解；
（2）分x=0與x≠0兩種情況研究：當(dāng)x=0時，顯然成立；當(dāng)x≠0時，兩邊同除以|x|，然后求出左邊的最小值，解關(guān)于m的不等式即可．

解答 解：（1）f（x）=|2x-1|+|x-1|，
當(dāng)x≤$\frac{1}{2}$時，原不等式可化為-（2x-1）-（x-1）≥x+4，解得x≤-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x≤1時，原不等式可化為2x-1-（x-1）≥x+4，即1≥4，無解；
當(dāng)x＞1時，原不等式可化為2x-1+x-1≥x+4，解得：x≥3；
綜上可得，原不等式的解集為{x|x≤-$\frac{1}{2}$或x≥3}．
（2）當(dāng)x=0時，原不等式為2≥0，顯然恒成立；
當(dāng)x≠0時，原不等式兩邊同除以|x|，則不等式可化為：
|2-$\frac{1}{x}$|+|$\frac{1}{x}$-1|≥m²-3m+3恒成立．
因為|2-$\frac{1}{x}$|+|$\frac{1}{x}$-1|≥|（2-$\frac{1}{x}$）+（$\frac{1}{x}$-1）|=1．
所以要使原式恒成立，只需m²-3m+3≤1即可，即m²-3m+2≤0．
解得1≤m≤2．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法以及不等式恒成立問題的解題思路，一般的不等式恒成立問題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．本題還考查了分類討論思想的應(yīng)用．