Question

19．己知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{3}$S_n，n∈N^*，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}•（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{1}{3}$S_n，a_n+2=$\frac{1}{3}$S_n+1可得a_n+2=$\frac{4}{3}$a_n+1，再討論即可．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{3}$S_n，a_n+2=$\frac{1}{3}$S_n+1，
∴a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{3}$a_n+1，
∴a_n+2=$\frac{4}{3}$a_n+1，
又∵a₁=1，a₂=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}•（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}•（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．