Question

【題目】已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與直線垂直．（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）首先由題可得，由此得到，再分，及討論得出結(jié)論；

（2）所求問題等價(jià)于在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，只需求出函數(shù)在上的最大值即可．

（1）依題意，，即，故，

由在原點(diǎn)處的切線與直線垂直可知，，則，

，

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，由解得或，由解得，

此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí)，由解得或，解得，

此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）由（1）可知，，則對任意上恒成立，

，在上恒成立，

設(shè)，則，

令，則，

由解得，

易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

，

在上單調(diào)遞減，

，

，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．