Question

14．如圖，四邊形ABCD為矩形，且AB=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，E、F為BC、AB的中點．
（1）證明：PE⊥DE；
（2）若在線段PA上存在點G，使得FG∥平面PDE．試確定點G的位置．

Answer 1

分析 （1）連接AE，推導出DE⊥AE，PA⊥DE，由此能證明PE⊥DE．
（2）點G在線段PA上滿足PG：GA=3：1，使得FG∥平面PDE．

解答 證明：（1）連接AE
∵四邊形ABCD為矩形，且AB=1，AD=2，E為BC的中點，
∴$AE=DE=\sqrt{2}$，AE²+DE²=AD²，DE⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴PA⊥DE
又AE∩PA=A，∴DE⊥平面PAE，
而PE?平面PAE，∴PE⊥DE．
解：（2）點G在線段PA上滿足PG：GA=3：1
在PD上取點M滿足PM：MD=3：1，連接MG，則MG∥AD且$MG=\frac{3}{4}AD$，
作DE中點N，連接FN、MN，則由題意得：FN∥AD且$FN=\frac{3}{4}AD$，
∴MG∥FN且MG=FN，
故四邊形FGMN是平行四邊形，∴FG∥MN，
又FG?平面PDE，MN?平面PDE，
∴FG∥平面PDE．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．