Question

1．已知雙曲線C：x²-2y²=a²（a＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點為P，過P向x軸作垂線，垂足為H，則$\frac{{|{PH}|}}{{|{{F_1}{F_2}}|}}$=（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{3}{10}$

Answer 1

分析 根據(jù)直徑所對的圓心角是直角，得到三角形F₁PF₂是直角三角形，結合雙曲線的定義以及直角三角形的性質進行求解即可．

解答 解：雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{2}}=1$，
則c²=a²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\frac{3{a}^{2}}{2}$，
則以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點為P，
則∠F₁PF₂=90°，
則|PF₁|-|PF₂|=2a，且|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=6a²，
即|PF₁|²-2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=4a²，
則6a²-2|PF₁||PF₂|=4a²，
即|PF₁||PF₂|=a²，
在直角三角形F₁PF₂中，
$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||PH|，
則a²=2c|PH|，
則|PH|=$\frac{{a}^{2}}{2c}$，
則$\frac{{|{PH}|}}{{|{{F_1}{F_2}}|}}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{2c}}{2c}$=$\frac{{a}^{2}}{4{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{4×\frac{3{a}^{2}}{2}}$=$\frac{1}{6}$，
故選：B

點評 本題主要考查雙曲線性質的應用，利用數(shù)形結合以及圓和直角三角形的性質建立方程關系是解決本題的關鍵．