Question

1．在極坐標系中，已知曲線C：ρ=$2\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），P為曲線C上的動點，定點Q（1，$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）將曲線C的方程化成直角坐標方程，并說明它是什么曲線；
（Ⅱ）求P、Q兩點的最短距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用兩角差的正弦公式和極坐標與直角坐標的關系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，化簡即可得到所求方程及軌跡；
（Ⅱ）求得Q的直角坐標，以及Q到圓心的距離，由最小值d-r，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C：ρ=$2\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）
=2sinθ-2cosθ，
即有ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲線C：x²+y²+2x-2y=0，
即為以（-1，1）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓；
（Ⅱ）Q（1，$\frac{π}{4}$），即為Q（cos$\frac{π}{4}$，sin$\frac{π}{4}$），
即Q（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
Q到圓心的距離為d=$\sqrt{（-1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有PQ的最短距離為d-r=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查極坐標和直角坐標的互化，點與圓的位置關系，注意運用兩點的距離公式，考查運算能力，屬于基礎題．