Question

16．如圖，正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E、F分別為B₁C₁，C₁D₁中點(diǎn)，
（1）求證：D₁B₁∥面EFDB；
（2）求直線BE與面ABCD所成角的正切值；
（3）求平面EFDB將正方體分成的兩部分體積之比．

Answer 1

分析 （1）連接B₁D₁，證明EF∥B₁D₁，即可證明D₁B₁∥面EFDB
（2）作EG⊥BC，則EG⊥面ABCD，∠EBC是直線BE與面ABCD所成角，即可求直線BE與面ABCD所成角的正切值；
（3）求出${V}_{EF{C}_{1}-DBC}$，即可求平面EFDB將正方體分成的兩部分體積之比．

解答 （1）證明：連接B₁D₁，則
∵E、F分別為B₁C₁，C₁D₁中點(diǎn)，
∴EF∥B₁D₁，
∵B₁D₁?面EFDB，EF?面EFDB，
∴D₁B₁∥面EFDB；
（2）解：作EG⊥BC，則EG⊥面ABCD
∴∠EBC是直線BE與面ABCD所成角，正切值為2；
（3）解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則
${V}_{EF{C}_{1}-DBC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{5}{2}$，
∵正方體的體積為8，
∴平面EFDB將正方體分成的兩部分體積之11：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．