Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1）
（1）求證：對任意x∈（-1，+∞），f（x）≤0；
（2）證明：當(dāng)m＞n＞0，時，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的最大值，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）根據(jù)要證明的結(jié)論，利用分析法來證明本題，從結(jié)論入手，要證結(jié)論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個范圍上成立，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì)．

解答 證明：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），f′（x）=-ln（x+1），
當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
故當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取最大值0，
即f（x）≤0；
（2）要證：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m
只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證$\frac{ln（1+m）}{m}$＜$\frac{ln（1+n）}{n}$，
設(shè)g（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$，
則g′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$=$\frac{x-（1+x）ln（1+x）}{（1+x）{x}^{2}}$，
由（1）知：f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調(diào)遞減，
即x＞0時，有f（x）＜f（0），
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，
即當(dāng)m＞n＞0時，g（m）＜g（n），
故原不等式成立．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構(gòu)造函數(shù)，是一個綜合題，解題時確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．