Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，PD=AD=AB=1，CD=2，點(diǎn)E是PA的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（I）求證：PB⊥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角E-PB-D的大�。�
（Ⅲ）在DC上是否存在一點(diǎn)G，使PG∥平面EDB，若存在，求出DG的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PD⊥DA，PD⊥DC，從而AD⊥DC，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能證明PB⊥平面DEF．
（Ⅱ） 由PB⊥平面DEF，得DF⊥PB，再由EF⊥PB，得∠EFD是二面角E-PB-D的平面角，由此能求出二面角E-PB-D的大小．
（Ⅲ）當(dāng)DC的中點(diǎn)為點(diǎn)G時(shí)，滿足PG∥平面EDB，推導(dǎo)出DG=1，且四邊形ABGD為正方形，連接AG交DB于O，則O為AG中點(diǎn)．連接EO，則EO∥PG，由此能求出PG∥平面EDB，且DG=1．

解答 證明：（Ⅰ） 因?yàn)镻D⊥底面ABCD，DA?面ABCD，DC?面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC．
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是直角梯形，AB∥CD，AB=1，CD=2，
所以AD⊥DC
如圖，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，…（1分）
則$E（\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}）$，P（0，0，1），B（1，1，0）$\overrightarrow{DE}=（\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$，…（3分）
因?yàn)?\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PB}=1×\frac{1}{2}+1×0-1×\frac{1}{2}=0$
所以DE⊥PB…（4分）
又因?yàn)橐阎狤F⊥PB
在平面DEF中，DE∩EF=E…（5分）
所以PB⊥平面DEF．
解：（Ⅱ） 由（Ⅰ） 已證PB⊥平面DEF，
因?yàn)镈F?面DEF，
所以DF⊥PB
已知EF⊥PB，
故∠EFD是二面角E-PB-D的平面角．…（6分）
設(shè)點(diǎn)F（x，y，z），則$\overrightarrow{PF}=（x，y，z-1）$
因?yàn)?\overrightarrow{PF}=k\overrightarrow{PB}$
所以（x，y，z-1）=k（1，1，-1）=（k，k．-k）
即 x=k，y=k，z=1-k，F(xiàn)（k，k，1-k）$\overrightarrow{FE}=（\frac{1}{2}-k，-k，k-\frac{1}{2}）$
因?yàn)镋F⊥PB
所以$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PB}=0$
所以$（1，1，-1）•（\frac{1}{2}-k，-k，k-\frac{1}{2}）=-k+\frac{1}{2}-k-k+\frac{1}{2}=-3k+1=0$=0
所以$k=\frac{1}{3}$，點(diǎn)$F（\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$，…（7分）
又因?yàn)辄c(diǎn)$E（\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}）$，
所以$\overrightarrow{FE}=（\frac{1}{6}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{6}）$…（8分）
因?yàn)?cos∠EFD=\frac{{\overrightarrow{FE}•\overrightarrow{FD}}}{{|\overrightarrow{FE}|•|\overrightarrow{FD}|}}=\frac{{（\frac{1}{6}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{6}）•（-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}）}}{{\frac{{\sqrt{6}}}{6}•\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}=\frac{1}{2}$，
所以∠EFD=60°，…（10分）
由題知二面角E-PB-D的平面角為銳角，所以二面角E-PB-D的大小為60°．
（Ⅲ）當(dāng)DC的中點(diǎn)為點(diǎn)G時(shí)，滿足PG∥平面EDB．
因?yàn)榈酌鍭BCD是直角梯形，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2
所以DG=1，且四邊形ABGD為正方形．
連接AG交DB于O，則O為AG中點(diǎn)．連接EO
所以在△PAG中，點(diǎn)E，O分別是PA，AG的中點(diǎn)，
所以EO∥PG…（11分）
因?yàn)镋O?平面EDB，PG?平面EDB…（13分）
所以PG∥平面EDB．且DG=1．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．