Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換求得f（x）解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），故它的周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為 $[{-\frac{π}{6}}\right.+kπ，\left.{\frac{π}{3}+kπ}]，k∈Z$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎題．